加权余量法（Weighted Residual Method）是一种数值方法，用于求解偏微分方程（PDEs）。其基本思想是将偏微分方程的残差（或余量）通过加权函数加权，并使加权余量在定义域上为零，从而形成一组代数方程进行求解。

基本思想

假设我们有一个偏微分方程：

$\mathcal{L}(u)=f$

其中，$\mathcal{L}$ 是一个微分算子，$u$ 是待求解的函数，$f$是已知函数。

选取试探解

首先，我们选取一个试探解$u_h$，通常是通过一些基函数的线性组合来表示：

$u_h={\sum }_{i=1}^n{c}_i{\varphi }_i$

其中，${\varphi }_i$是基函数，$c_i$是待定系数。

计算残差

将试探解代入原方程，我们可以得到残差$R$：

$R=\mathcal{L}(u_h)-f$

选择加权函数

选择一组加权函数 $w_i$，并通过加权余量法的基本要求，使加权余量在整个定义域上为零：

${\int }_{\Omega }{w}_{i}Rd\Omega =0\forall i$

由于试探函数中一共n个系数，固需要选取n个加权函数，得到n个方程组。

形成方程组

将残差 $R$ 代入，得到以下方程组：

${\int }_{\Omega }{w}_i\left(\mathcal{L}(u_h)-f\right)d\Omega =0\forall i\in (1,n)$

通过这些方程组可以求解出待定系数 $c_i$

加权余量法权函数选择

在加权余量法中，可以选择不同的权函数，常用的权函数选择有如下形式

配点法

权函数取为狄拉克函数 $w_i=\delta (x-x_i)$，这种方法相当于简单的强迫余量函数在n个点上等于0

子域法

在n个子域${\Omega }_i$中$w_i=1$，在子域外 $w_i=0$，这种方法相当于强迫余量函数在n个子域上等于0

最小二乘法

取$w_j=\frac{\partial }{\partial c_j}\mathcal{L}({\sum }_{i=1}^n{\varphi }_i{c}_i)$

此方法的本质是使得如下函数取极小值

$I(c_i)={\int }_{\Omega }{\mathcal{L}}^2({\sum }_{i=1}^n{\varphi }_i{\mathbf{c}}_i)\mathrm{d}\Omega$

伽辽金法

取权函数为势函数的基函数${\varphi }_i$

应用示例

假设我们有一个一维的偏微分方程：

$-\frac{d^{2}u}{d{x}^2}=f(x),x\in (0,1)$

边界条件为 $u(0)=u(1)=0$。

选取试探解

选取试探解$u_h$为基函数的线性组合，例如使用线性基函数：

$u_h={\sum }_{i=1}^n{c}_i{\varphi }_i(x)$

其中，${\varphi }_i(x)$满足边界条件。

计算残差

残差 $R$为：

$R=-\frac{d^2{u}_h}{d{x}^2}-f(x)$

选择加权函数

选择加权函数$w_i={\varphi }_i$即使用基函数作为加权函数。

形成方程组

形成方程组：

${\int }_0^1{\varphi }_i\left(-\frac{d^2{u}_h}{d{x}^2}-f(x)\right)dx=0\forall i$

通过分部积分和应用边界条件，可以将其转换为：

${\int }_0^1\frac{d{\varphi }_i}{dx}\frac{d{u}_h}{dx}dx={\int }_0^1{\varphi }_{i}f(x)dx\forall i$

将$u_h$的表达式代入，得到一组线性代数方程：

${\sum }_{j=1}^n{c}_j{\int }_0^1\frac{d{\varphi }_i}{dx}\frac{d{\varphi }_j}{dx}dx={\int }_0^1{\varphi }_{i}f(x)dx\forall i$

通过求解这组方程可以得到系数 $c_i$，从而得到近似解$u_h$ 。